Anton Kochenkov Lokomotiv Moskva non ha preso parte a molte delle gare del club in Premier League nel 2020/2021, avendo collezionato 6 presenze, per un totale di 474 minuti. È partito titolare in 5 di queste presenze su 30 giornate ed è subentrato 1 volta.
Il portiere ha giocato la sua ultima partita il 24 aprile, con Lokomotiv Moskva: una vittoria per 5-2 contro Tambov, in cui ha giocato 90 minuti. Ha mantenuto 2 volte la porta inviolata in questa stagione.
Kochenkov ha giocato 7 partite di Premier League nell'ultima stagione con Lokomotiv Moskva, gare in cui ha mantenuto 2 volte la porta inviolata.
Il portiere è tornato a giocare con Lokomotiv Moskva nel gennaio 2017 dopo un'esperienza in prestito con Tom Tomsk, con cui ha collezionato 12 presenze in campionato.