Birkir Bjarnason è un centrocampista del Brescia che ha giocato la maggior parte delle partite della sua squadra in Serie B nel 2023/2024, avendo collezionato 33 presenze, per un totale di 1683 minuti. É partito titolare in 19 di queste presenze, su 34 giornate, ed è entrato a gara in corso 14 volte.
Bjarnason ha collezionato la sua ultima presenza il 20 aprile, con il Brescia: un pareggio per 0-0 contro Ternana, in cui ha giocato 27 minuti. In totale il centrocampista ha realizzato 4 gol in questa stagione - terzo tra i giocatori della propria squadra; ha inoltre registrato 1 assist.
É stato contro Catanzaro il 23 dicembre che Bjarnason ha segnato il suo ultimo gol, nella vittoria per 3-2. Ha aperto le sue marcature in questo campionato contro il Cosenza il 3 settembre, avendo realizzato una rete nella vittoria per 1-0.
La gara casalinga contro lo Spezia, il 27 aprile, sarà la prossima gara di Serie B per il Brescia, che ha 46 punti e occupa il 7° posto.
Nell'ultima stagione con Adana Demirspor in Süper Lig Bjarnason ha collezionato 9 presenze, fornendo 2 assist.
Prima di cominciare l'esperienza con il Brescia nell'agosto 2023, il centrocampista ha collezionato 11 presenze in campionato con il Viking, per un totale di 2 gol.