Baran Gezek è un centrocampista del Eyüpspor che è sceso in campo 17 volte in questa stagione di Süper Lig, con tutte queste che sono state per la sua squadra attuale. Ha giocato anche per il Kayserispor durante la stagione 2025/2026.
La sua ultima presenza in Süper Lig risale al 17 maggio, partita in cui ha giocato 90 minuti con la maglia del Eyüpspor contro il Fenerbahce, nel pareggio per 3-3.
Nell'ultima stagione con il Kayserispor in Süper Lig Gezek ha collezionato 20 presenze.
Il centrocampista è passato a giocare in prestito con Eyüpspor nel settembre 2025. In precedenza giocava per il Kayserispor, per cui ha collezionato 35 presenze in campionato.