Max Finkgräfe è un difensore dell'RB Lipsia che ha collezionato 13 presenze, per un totale di 498 minuti. É partito titolare in 5 partite su 34 giornate ed è stato soprattutto utilizzato come subentrato, in 8 occasioni.
La sua ultima presenza in Bundesliga è stata il 16 maggio, gara in cui ha giocato 90 minuti con la maglia dell'RB Lipsia contro il Friburgo, nella sconfitta per 4-1. In totale il difensore ha segnato 1 gol nel 2025/2026; ha inoltre offerto 1 assist.
Il suo primo gol nel campionato è arrivato in una vittoria 3-1 contro l'Union Berlino il 24 aprile.
Finkgräfe ha giocato 14 partite di 2. Bundesliga nell'ultima stagione con il Colonia.
Il difensore è passato a giocare con l'RB Lipsia nel luglio 2025, mentre prima giocava con il Colonia, con cui ha collezionato 38 presenze in campionato, con 1 gol segnato.
Il 19 agosto 2023 Finkgräfe ha debuttato in Bundesliga con il Colonia, all'età di 19 anni e 145 giorni, contro il Borussia Dortmund. La prima presenza con il suo club attuale, l'RB Lipsia, in Bundesliga è stata nella sfida contro il Werder Brema il 23 novembre 2025.
In totale, nella sua carriera in Bundesliga, conta 37 presenze con 2 gol segnati e un assist.